Cimientos de la geometría

Análisis de la recta

Rondón (2011). [1]De las figuras geométricas la más sencilla y más conocida es la recta, ya que los parámetros que la caracterizan son en general sencillos y de mucha utilidad. Desde tiempos antiguos se sabe que la distancia más corta entre dos puntos es una recta, lo cual es evidente. De las métricas de distancia la más común es la “Distancia Euclidiana”, aunque existen otras que son importantes.

Se presentan las temáticas de manera sencilla, pero con rigurosidad matemática, para que el estudiante se sumerja en este interesante tema de la recta, será de gran satisfacción.

Distancia Euclidiana:

A través de la historia de las Matemáticas, la distancia ha sido un concepto de gran trascendencia por su utilidad, desde la antigüedad se buscaron formas de determinarla. Fue EUCLIDES, el gran matemático nacido en 300 años A: C: en Alejandría (Egipto) quien dio una solución para determinar la distancia entre dos puntos. A partir de conocido teorema de Pitágoras, estableció una técnica para determinar la distancia entre dos puntos.

Fuente: imagen de Euler recuperada de la webhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Euklid2.jpg/220px-Euklid2.jpg

Sean los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). d = distancia entre P1 y P2 2 1 ∆x = x − x 2 1 ∆y = y − y Por el teorema de Pitágoras: Para señalar la distancia euclídea, generalmente se describe como: d(P1P2), lo cual se determina por la fórmula anterior. 

Es pertinente aclarar que d(P1P2) = d (P2P1),

Sean los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).

d = distancia entre P1 y P2

∆x = x − x 2 1

Por teorema de Pitágoras

Para señalar la distancia euclídea, generalmente se describe como: d(P1P2), lo cual se determina por la fórmula anterior. Es pertinente aclarar que d(P1P2) = d(P2P1).

Ejemplo: 

Sean los puntos (-2, 4) y (2, 5), determinar la distancia entre dichos puntos.

copia ejemplos de Rondon. j.(2011)

Graficando con Geogebra queda así:

se escribe la formula en la entrada y = 4x -2 y automáticamente se obtiene la gráfica.

colocando valores se realiza de esta forma

Lo que se recomienda a los estudiantes es que aprendan el conocimiento de las dos formas hoy en día la tecnología ofrece herramientas prácticas que facilitan el aprendizaje.

Clasemáticas.canal(2012). vídeo de cónicas. Recuperado de la web https://youtu.be/FnsnwbKYIZQ

Análisis de la circunferencia :

Por geometría básica se sabe que la circunferencia es el perímetro del círculo, ésta no tiene área, solo longitud y los parámetros que la identifican. La circunferencia se forma cuando el plano corta horizontalmente el cono.

Definición: La circunferencia es un conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano que equidistan a un punto fijo llamado centro. La distancia fija se le llama radio.

Los parámetros de la circunferencia son: Centro: La coordenada en x se le denomina h y la de y se le denomina k. C (h, k) Radio: Es la distancia del centro a cualquier punto de la misma, se representa por R. Otros parámetros de la circunferencia, que no inciden directamente con la ecuación son: Diámetro: D = 2R Longitud: L = 2πR 

Con los conceptos dados, se puede inferir que la circunferencia queda descrita por medio de su centro, su radio y el conjunto de puntos que la conforman.

Ecuación Canónica: Para una circunferencia de centro en el origen de coordenadas (h, k) = (0, 0) y radio R, la ecuación canónica es de la forma: 

X^2 + Y ^2 = R^2

Demostración

Para hacer la demostración de la ecuación canónica de la circunferencia, vamos a definir algunas condiciones:

El centro está en el origen, es decir (h, k) = (0, 0) El radio es la distancia del centro a cualquier punto que conforman la circunferencia.

Por Pitágoras:

R^2= (X- 0)^2 +(Y-0)^2

Simplificando

R^2= X^2+Y^2

Así queda demostrada la ecuación de la circunferencia

Ejemplo 246:

Una circunferencia tiene como ecuación canónica: ¿Cuál será el diámetro y la longitud de dicha circunferencia? Solución: Si ajustamos la ecuación que nos dan a la ecuación canónica: 2 2 2 2 2 x + y = 36 ⇒ x + y = 6 Así el radio será: R = 6. Como el diámetro es 2R, entonces: D = 2(6) = 12 La longitud será: L = 2πR = 2(6) π, L = 12π

Expresada la gráfica queda así:

Referencia Bibliográficas

[1] Rondón, J. (2011). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia.. Recuperado de:

http://hdl.handle.net/10596/7301

Explicación de la elipse construcción con Geogebra paso a paso

Rodriguez (2013). Elipse Construcción con geogebra. fuente obtenida de la web.https://youtu.be/mRnRlN08ZfA

páginas complementaria al tema:

Domínguez (2013). Geometría analítica .Fuente tomada de la web  https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-3/la-circunferencia-1

Vitutor (2014). Ejercicios y problemas de la geometría analítica. Fuente recuperada de la web.  http://www.vitutor.com/ejercicios/ejercicios_geoanalitica.html

Construcción de la párabola con geogebra

Rodriguez(2014). Construcción paso a paso de la parábola con el programa de Geogebra. Fuente recuperada de la web. https://www.youtube.com/watch?v=MzaZ4H6LOEA

página pasatiempos de la geometría analítica.

Unad. curiosidades del tema elegido. Fuente   Recuperada de la web  https://funcionesgeometrianaliticaunad.wordpress.com/curiosidades-del-tema-elegido-pasatiempos/

Geometría Didáctica

La geometría al ser una herramienta la cual nos aporta grandes conocimientos que podemos aplicar en nuestra vida diaria, además se pueden llevar a cabo diferentes actividades didácticas para proporcionar una mejor forma de enseñanza por medio de actividades donde los estudiantes desarrollen mejor sus conocimientos. A continuación, se presentan actividades con respecto a ecuaciones de la circunferencia:

Objetivos: Resolver los problemas tipo sobre las ecuaciones de las circunferencias.

Nivel: 1º de Bachillerato.

Observaciones:

EL puzzle se compone de ocho fichas triangulares y cuatro cuadradas, que sirven para formar, al juntarles, una figura como la de arriba . Cada pieza del puzzle, triangular o cuadrada, lleva sobre uno, dos, tres o cuatro de sus lados una pregunta sobre circunferencias o las respuestas a esas preguntas. 

En concreto se plantea este tipo de preguntas:

* Hacer corresponder la ecuación desarrollada de una circunferencia con el centro y el radio de la circunferencia.

* Hacer corresponder la ecuación sin desarrollar de una circunferencia con el centro y el radio de la circunferencia. 

*Hacer corresponder la ecuación desarrollada de una circunferencia con él diámetro de la circunferencia. 

*Hacer corresponder la ecuación sin desarrollar de una circunferencia con él diámetro de la circunferencia. 

*Hacer corresponder la ecuación desarrollada de una circunferencia con la misma ecuación sin desarrollar. 

Material necesario: 

8 fichas triangulares y 4 cuadradas por pareja de alumnos. 

El juego consiste en unir estas expresiones. 

en este caso la figura que se obtiene es un decágono como el de la primera imagen de esta entrada. Este juego está elaborado con la ayuda del programa Formulator Tarsia.

Reglas del juego: 

Juego individual 

*Cada alumno resolverá las preguntas propuestas, necesarias para emparejar las piezas del puzzle. 

Una vez resueltas las preguntas, es mejor que cada alumno compruebe los resultados con los de otro para asegurar que se ha contestado correctamente. 

* Después cada alumno recortará las piezas e intentará formar el primero un gran decágono. 

García, Azcate Ana, pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2014/10/15/puzzle-de-ecuaciones-de-la-circunferencia/